Question

【題目】如圖，在中，是的平分線，于，于，并且，動點以的速度從點向點運動，動點以的速度從點向點運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，設運動時間為．

(1)求證:在運動過程中，不管取何值，都有；

(2)當取何值時，與全等；

(3)若，當時，求此時的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當時，△DFE與△DMG全等；(3)

【解析】

（1）由角平分線的性質可知DF=DM，所以△AED和△DGC的面積轉化為底AE和CG的比值，根據路程=速度×時間求出AE和CG的長度即可證明在運動過程中，不管取何值，都有；
（2）分兩種情況進行討論：①當0＜t＜3時，②當3＜t＜5時，分別根據△DFE≌△DMG，得出EF=GM，據此列出關于t的方程，進行求解即可；
（3）利用等高三角形的面積比等于對應底的比，即可求得答案．

（1）∵是的平分線， DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
∵

∴，

∵點E以3cm/s的速度從A點向F點運動，動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動，
∴，，

∴，

即，

∴，

∴在運動過程中，不管取何值，都有．

（2）∵是的平分線， DF⊥AB，DM⊥AC，
∴，

∴，
①當0＜t＜3時，點G在線段CM上，點E在線段AF上．
，
∴，
∴（不合題意，舍去）；
②當3＜t＜5時，點G在線段AM上，點E在線段AF上．
，，
∴，

∴，

綜上所述當時，△DFE與△DMG全等；

（3）∵，

∴()，

∵，
∴
∵，
∴()，

∴()，

∵，，

∴ ．