Question

如圖，邊長為n的正△DEF的三個頂點恰好在邊長為m的正△ABC的各邊上，則△AEF的內切圓半徑為（　　）

• A、

  3

  6

  (m-n)
• B、

  3

  4

  (m-n)
• C、

  3

  3

  (m-n)
• D、

  3

  2

  (m-n)

Answer 1

分析：由于△ABC、△EFD都是等邊三角形，因此它們的內心重合，設△ABC的內心為M，△AEF的內心為N，連接FN、MF，可先證MN=MF，而后由AN=MA-MN=MA-MF求出MA的值，易知∠NAF=30°，根據直角三角形的性質即可求出△AEF的內切圓半徑．

解答：解：設△AEF的內切圓半徑為r，
∵△ABC、△DEF都是等邊三角形，且△DEF的三個頂點都在△ABC的邊上，
∴△AEF≌△BDE≌△CFD，
∴AF=BE，AE+AF+EF=AE+BE+EF=m+n，
S_△ABC=

3

4

m²，S_△DEF=

3

4

n²，
∴S_△AEF=

1

3

（S_△ABC-S_△DEF）=

3

12

（m²-n²），
則r=

2 S△AEF

AE+AF+EF

=

3

6

（m-n）．
故選A．

點評：此題考查的知識點有：等邊三角形的性質、三角形的內切圓、三角形的外角性質以及直角三角形的性質等知識，綜合性強，難度較大．