Question

【題目】已知：△ABC內接于⊙O，連接CO并延長交AB于點E，交⊙O于點D，滿足∠BEC＝3∠ACD．

（1）如圖1，求證：AB＝AC；

（2）如圖2，連接BD，點F為弧BD上一點，連接CF，弧CF＝弧BD，過點A作AG⊥CD，垂足為點G，求證：CF+DG＝CG；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點H為AC上一點，分別連接DH，OH，OH⊥DH，過點C作CP⊥AC，交⊙O于點P，OH：CP＝1： ，CF＝12，連接PF，求PF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連接AD．設∠BEC＝3α，∠ACD＝α，利用等量代換得出∠ABC＝∠ACB，最后進一步證明結論即可；

（2）連接AD，在CD上取一點Z，使得CZ＝BD，通過證明△ADB≌△AZC得出AD＝AZ，然后進一步證明即可；

（3）連接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延長線于T，利用三角函數以及勾股定理進一步求解即可.

（1）證明：如圖1中，連接AD．設∠BEC＝3α，∠ACD＝α．

∵∠BEC＝∠BAC+∠ACD，

∴∠BAC＝2α，

∵CD是直徑，

∴∠DAC＝90°，

∴∠D＝90°﹣α，

∴∠B＝∠D＝90°﹣α，

∵∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α．

∴∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC；

（2）證明：如圖2中，連接AD，在CD上取一點Z，使得CZ＝BD．

∵弧BD=弧CF，

∴DB＝CF，

∵∠DBA＝∠DCA，CZ＝BD，AB＝AC，

∴△ADB≌△AZC（SAS），

∴AD＝AZ，

∵AG⊥DZ，

∴DG＝GZ，

∴CG＝CZ+GZ＝BD+DG＝CF+DG．

（3）連接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延長線于T．

∵CP⊥AC，

∴∠ACP＝90°，

∴PA是直徑，

∵OR⊥PC，OK⊥AC，

∴PR＝RC，∠ORC＝∠OKC＝∠ACP＝90°，

∴四邊形OKCR是矩形，

∴RC＝OK，

∵OH：PC＝1：，

∴設OH＝a，PC＝2a，

∴PR＝RC＝a，

∴RC＝OK＝a，sin∠OHK＝，

∴∠OHK＝45°，

∵OH⊥DH，

∴∠DHO＝90°，

∴∠DHA＝180°﹣90°﹣45°＝45°，

∵CD是直徑，

∴∠DAC＝90°，

∴∠ADH＝90°﹣45°＝45°，

∴∠DHA＝∠ADH，

∴AD＝AH，

∵∠COP＝∠AOD，

∴AD＝PC，

∴AH＝AD＝PC＝2a，

∴AK＝AH+HK＝2a+a＝3a，

在Rt△AOK中，tan∠OAK＝，OA＝=，

∴sin∠OAK＝，

∵∠ADG+∠DAG＝90°，∠ACD+∠ADG＝90°，

∴∠DAG＝∠ACD，

∵AO＝CO，

∴∠OAK＝∠ACO，

∴∠DAG＝∠ACO＝∠OAK，

∴tan∠ACD＝tan∠DAG＝tan∠OAK＝，

∴AG＝3DG，CG＝3AG，

∴CG＝9DG，

由（2）可知，CG＝DG+CF，

∴DG+12＝9DG，

∴DG＝，AG＝3DG＝3×＝，

∴AD＝，

∴PC＝AD＝，

∵sin∠F＝sin∠OAK，

∴sin∠F＝，

∴CT＝＝×12＝，FT＝，PT＝，

∴PF＝FT﹣PT＝﹣＝．