Question

【題目】小明家的門(mén)框上裝有一把防盜門(mén)鎖（如圖1）．其平面結(jié)構(gòu)圖如圖2所示，鎖身可以看成由兩條等弧AD，弧BC和矩形ABCD組成，弧BC的圓心是倒鎖按鈕點(diǎn)M．已知弧AD的弓形高GH＝2cm，AD＝8cm，EP＝11cm．當(dāng)鎖柄PN繞著點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)至NQ位置時(shí)，門(mén)鎖打開(kāi)，此時(shí)直線(xiàn)PQ與弧BC所在的圓相切，且PQ∥DN，tan∠NQP＝2．

（1）弧BC所在圓的半徑為_____cm．

（2）線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度約為_____cm．（≈2.236，結(jié)果精確到0.1cm）

Answer 1

【答案】5 29.8

【解析】

（1）如圖，連接BM，設(shè)HM交BC于K，延長(zhǎng)PQ交NM的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)T，若直線(xiàn)PQ與弧BC所在的圓相切于J，連結(jié)MJ，在Rt△BMK中利用勾股定理進(jìn)一步求解可；

（2）根據(jù)題意可進(jìn)一步得出tan∠DNE＝tan∠NQP＝2＝，從而得出NP的長(zhǎng)，最后再利用tan∠TMJ＝tan∠NPT進(jìn)一步求解，通過(guò)GN+MN+MK求出AB的長(zhǎng)即可.

如圖，連接BM，設(shè)HM交BC于K，延長(zhǎng)PQ交NM的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)T，若直線(xiàn)PQ與弧BC所在的圓相切于J，連結(jié)MJ，

設(shè)BM＝r，在Rt△BMK中，則有r2＝42+（r﹣2）2，

解得r＝5，

∴BM＝5，即弧BC所在圓的半徑為5cm．

（2）∵DN∥PB，

∴∠DNE＝∠P，

∵NP＝NQ，

∴∠P＝∠NQP，

∴∠DNE＝∠NQP，

∴tan∠DNE＝tan∠NQP＝2＝，

∵NE＝DG＝4，

∴DE＝NG＝8，

∴NP＝NE+EP＝4+11＝15，

∵直線(xiàn)PQ與弧BC所在的圓相切于J，

∴MJ⊥PQ，MJ＝5，

∴∠TMJ＝∠NPT，

∴tan∠TMJ＝tan∠NPT＝2，

∴，

∴NT＝15×2＝30，TJ＝5×2＝10，

∴MT=,

∴MN＝NT﹣MT＝30﹣5，

∴AB＝GN+MN+MK＝8+30﹣5+3＝41﹣5≈29.8cm

故答案為：（1）5，（2）29.8．