Question

【題目】如圖，頂點為P（2，﹣4）的二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過原點，點A（m，n）在該函數圖象上，連接AP、OP．

（1）求二次函數y＝ax2+bx+c的表達式；

（2）若∠APO＝90°，求點A的坐標；

（3）若點A關于拋物線的對稱軸的對稱點為C，點A關于y軸的對稱點為D，設拋物線與x軸的另一交點為B，請解答下列問題：

①當m≠4時，試判斷四邊形OBCD的形狀并說明理由；

②當n＜0時，若四邊形OBCD的面積為12，求點A的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x；（2）A（，﹣）；（3）①平行四邊形，理由見解析；②A（1，﹣3）或A（3，﹣3）．

【解析】

（1）由已知可得拋物線與x軸另一個交點（4，0），將（2，﹣4）、（4，0）、（0，0）代入y＝ax2+bx+c即可求表達式；

（2）由∠APO＝90°，可知AP⊥PO，所以m﹣2＝，即可求A（，﹣）；

（3）①由已知可得C（4﹣m，n），D（﹣m，n），B（4，0），可得CD∥OB，CD＝CB，所以四邊形OBCD是平行四邊形；

②四邊形由OBCD是平行四邊形，，所以12＝4×（﹣n），即可求出A（1，﹣3）或A（3，﹣3）．

解：（1）∵圖象經過原點，

∴c＝0，

∵頂點為P（2，﹣4）

∴拋物線與x軸另一個交點（4，0），

將（2，﹣4）和（4，0）代入y＝ax2+bx，

∴a＝1，b＝﹣4，

∴二次函數的解析式為y＝x2﹣4x；

（2）∵∠APO＝90°，

∴AP⊥PO，

∵A（m，m2﹣4m），

∴m﹣2＝，

∴m＝，

∴A（，﹣）；

（3）①由已知可得C（4﹣m，n），D（﹣m，n），B（4，0），

∴CD∥OB，

∵CD＝4，OB＝4，

∴四邊形OBCD是平行四邊形；

②∵四邊形OBCD是平行四邊形，，

∴12＝4×（﹣n），

∴n＝﹣3，

∴A（1，﹣3）或A（3，﹣3）．