Question

【題目】如圖，△ABC中，點E、F分別在邊AB，AC上，BF與CE相交于點P，且∠1=∠2= ∠A．
（1）如圖1，若AB=AC，求證：BE=CF；
（2）若圖2，若AB≠AC， ①（1）中的結論是否成立？請給出你的判斷并說明理由；
②求證： = ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB=AC，

∴∠EBC=∠FCB，

在△BCE與△CBF中， ，

∴△BCE≌△CBF，

∴BE=CF；

（2）解：①成立，理由如下：作∠A的平分線交BC于點D，連結DE、DF，

則∠DAF=∠DAE= ∠A，

∵∠1=∠2= ∠A，

∴∠DAF=∠DAE=∠1=∠2，

∴A、B、D、F四點與A、E、D、C四點分別共圓，

∴BD=DF，DE=DC，

∵∠BDE=∠A，∠CDF=∠A，

∴∠BDE=∠CDF，

在△DEB與△DCF中， ，

∴△DEB≌△DCF，

∴BE=CF；

②由上面的證明易知△DFB與△DEC均為等腰三角形，

∵∠1=∠2，

∴△DFB∽△DEC，

∴ ，

∵AD是△ABC的內角平分線，

∴ ，

∴ ．

【解析】（1）由等腰三角形的性質得到∠EBC=∠FCB，根據全等三角形的判定和性質即可得到結論；（2）①作∠A的平分線交BC于點D，連結DE、DF，于是得到∠DAF=∠DAE= ∠A，根據已知條件得到∠DAF=∠DAE=∠1=∠2，推出A、B、D、F四點與A、E、D、C四點分別共圓，于是得到BD=DF，DE=DC，根據全等三角形的性質即可得到結論；②根據相似三角形的性質得到 ，根據三角形角平分線定理得到 ，等量代換即可得到結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)．