Question

【題目】如圖，以點O為端點按順時針方向依次作射線OA、OB、OC、OD.

（1）若∠AOC、∠BOD都是直角，∠BOC＝60°，求∠AOB和∠DOC的度數.

（2）若∠BOD＝100°，∠AOC＝110°，且∠AOD＝∠BOC+70°，求∠COD的度數.

（3）若∠AOC＝∠BOD＝α，當α為多少度時，∠AOD和∠BOC互余？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）∠AOB=30°，∠DOC=30°；（2）∠COD=30°；（3）當α=45°時，∠AOD與∠BOC互余．

【解析】

（1）根據互余的意義，即可求出答案；

（2）設出未知數，利用題目條件，表示出∠AOB、∠BOC，進而列方程求解即可；

（3）利用角度的和與差，反推得出結論，再利用互余得出答案．

（1）∵∠AOC=90°，∠BOD=90°，∠BOC=60°，

∴∠AOB=∠AOC﹣∠BOC=90°﹣60°=30°，

∠DOC=∠BOD﹣∠BOC=90°﹣60°=30°；

（2）設∠COD=x°，則∠BOC=100°﹣x°．

∵∠AOC=110°，

∴∠AOB=110°﹣(100°﹣x°)=x°+10°．

∵∠AOD=∠BOC+70°，

∴100°+10°+x°=100°﹣x°+70°，

解得：x=30，

即∠COD=30°；

（3）當α=45°時，∠AOD與∠BOC互余．理由如下：

要使∠AOD與∠BOC互余，即∠AOD+∠BOC=90°，

∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC=90°，

即∠AOC+∠BOD=90°．

∵∠AOC=∠BOD=α，

∴∠AOC=∠BOD=45°，

即α=45°，

∴當α=45°時，∠AOD與∠BOC互余．