Question

如圖1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰為BC的中點，.
（1）求證：AD=AE；
（2）如圖2，點P在BE上，作EF⊥DP于點F，連結AF. 求證：；
（3）請你在圖3中畫圖探究：當P為射線EC上任意一點（P不與點E重合）時，作EF⊥DP于點F，連結AF，線段DF、EF與AF之間有怎樣的數量關系？直接寫出你的結論.

Answer 1

（1）在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴
∴．
∴．
∴AE="BC."
∵ABCD是平行四邊形，
∴AD="BC."
∴AE="AD."
（2）在DP上截取DH=EF（如圖8）．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC，
∴∠EAD=90°．
∵EF⊥PD，∠1＝∠2，
∴∠ADH=∠AEF．
∵AD=AE，
∴△ADH≌△AEF．
∴∠HAD=∠FAE，AH=AF．
∴∠FAH ==90°．
在Rt△FAH中， AH=AF，
∴．
∴．
即．
（3）按題目要求所畫圖形見圖9，
線段DF、EF、AF之間的數量
關系為：
．

（1）首先根據∠B的正切值知：AE=2BE，而E是BC的中點，結合平行四邊形的對邊相等即可得證．
（2）此題要通過構造全等三角形來求解；作GA⊥AF，交BD于G，通過證△AFE≌△AGD，來得到△AFG是等腰直角三角形且EF=GD，由此得證．
（3）輔助線作法和解法同（2），只不過結論有所不同而已．