Question

【題目】將一個正方體的表面涂上顏色．如圖把正方體的棱等分，然后沿等分線把正方體切開，能夠得到個小正方體，通過觀察我們可以發現個小正方體全是個面涂有顏色的．如果把正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開，能夠得到個小正方體，通過觀察我們可以發現這些小正方體中有個是個面涂有顏色的，有個是個面涂有顏色的，有個是個面涂有顏色的，還有個各個面都沒有涂色．

（1）如果把正方體的棱等分，所得小正方體表面涂色情況如何呢？把正方體的棱等分呢？（請填寫下表）：

棱等分數	等分	等分
面涂色的正方體	___________個	_____________個
面涂色的正方體	__________個	____________個
面涂色的正方體	___________個	____________個
各個面都無涂色的正方體	___________個	____________個

（2）請直接寫出將棱等分時只有一個面涂色的小正方體的個數_____________．

Answer 1

【答案】（1）8，8；24，（12n-24）；24，6(n-2)2；8，(n-2)3；（2）150個

【解析】

（1）根據把正方體的棱等分或n等分，面涂色的正方體，面涂色的正方體，面涂色的正方體，各個面都無涂色的正方體的特點，進行計算，即可得到答案；

（2）根據將棱n等分時只有一個面涂色的小正方體的個數的表達式，即可求解．

（1）∵把正方體的棱等分，正方體的頂點處的小正方體3面涂色，

∴把正方體的棱等分，面涂色的正方體有：8個，

同理：把正方體的棱等分，面涂色的正方體有：8個，

∵把正方體的棱等分，每條棱上有2個小正方形2面涂色，

∴把正方體的棱等分，2面涂色的正方體有：2×12=24個，

∵把正方體的棱等分，每條棱上有(n-2)個小正方形2面涂色，

∴把正方體的棱等分，2面涂色的正方體有：（12n-24）個，

∵把正方體的棱等分，每個面上有4個小正方形1面涂色，

∴把正方體的棱等分，1面涂色的正方體有：4×6=24個，

∵把正方體的棱等分，每個面上有(n-2)2個小正方形1面涂色，

∴把正方體的棱等分，1面涂色的正方體有：6(n-2)2個，

∵把正方體的棱等分，內部的小正方體各個面都無涂色，

∴把正方體的棱等分，各個面都無涂色的正方體有：23=8個，

∵把正方體的棱等分，內部的小正方體各個面都無涂色，

∴把正方體的棱等分，各個面都無涂色的正方體有：(n-2)3個.

故答案是：8，8；24，（12n-24）；24，6(n-2)2；8，(n-2)3；

（2）當n=7時，

6(n-2)2=6×(7-2)2=150，

答：將棱等分時只有一個面涂色的小正方體的個數為150個．

故答案是：150個