Question

【題目】如圖，一架長4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面的傾斜角α為．

（1）求AO與BO的長；

（2）若梯子頂端A沿NO下滑，同時底端B沿OM向右滑行.

①如圖2，設A點下滑到C點，B點向右滑行到D點，并且AC:BD=2:3，試計算梯子頂端A沿NO下滑多少米；

②如圖３，當A點下滑到A’點，B點向右滑行到B’點時，梯子AB的中點P也隨之運動到P’點．若∠POP’＝ ，試求AA’的長．

Answer 1

【答案】（1）BO=2m；AO=2m．（2）①（）m．②（2-2）m．

【解析】

試題分析：（1）直角三角形中已知斜邊和一個角，那么兩條直角邊就容易求得了．

（2）①可先設出AC，BD的長，然后表示出OC，OD的長，根據滑動前后梯子長不變的特點在直角三角形WMC中運用勾股定理求出未知數的值，然后求出AC，BD的長．

②可根據直角三角形斜邊中線定理，和已知的∠ABO的度數，來求出∠B′A′O的度數，然后求出OA′的長，從而求出AA′的長．

試題解析：（1）BO=AB×cos60°=4×=2（m）

AO=AB×sin60°=4×=2（m）

答：BO=2m；AO=2m．

（2）①設AC=2x，BD=3x，在Rt△COD中，OC=2-2x，OD=2+3x，CD=4m．

根據勾股定理有OC2+OD2=CD2．

∴（2-2x）2+（2+3x）2=42．

∴13x2+（12-8）x=0．

∵x≠0，

∴13x+12-8=0，

∴x=．

∴AC=2x=（）m．

答：梯子頂端A沿NO下滑了（）m．

②∵P點和P′點分別是Rt△AOB的斜邊AB與Rt△A′OB′的斜邊A′B′的中點．

∴PA=PO，P′A′=P′O．

∴∠PAO=∠AOP，∠P′A′O=∠A′OP′．

∴∠P′A′O-∠PAO=∠A′OP′-∠AOP．

∴∠P′A′O-∠PAO=∠POP′=15°．

又∵∠PAO=30°．

∴∠P′A′O=45°．

∴A′O=A′B′×cos45°=4×=2（m）．

∴AA′=AO-A′O=（2-2）m．