Question

【題目】如圖，以點O為圓心的兩個同心圓中，矩形ABCD的邊BC為大圓的弦，邊AD與小圓相切于點M，OM的延長線與BC相交于點N．
（1）點N是線段BC的中點嗎？為什么？
（2）若圓環的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圓的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AD是小圓的切線，M為切點，

∴OM⊥AD，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴ON⊥BC，

∴N是BC的中點

（2）解：延長ON交大圓于點E，連接OB，

∵圓環的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm，

∴EN=6﹣5=1cm，

∴ME=6cm，

∵BC=10cm，N是BC的中點，

∴BN=5cm，

在Rt△OBN中，設OM=r，

OB2=BN2+（OM+MN）2，

即（r+6）2=52+（r+5）2，

解得r=7（cm），

故小圓半徑為7cm．

【解析】（1）由AD是小圓的切線可知OM⊥AD，再由四邊形ABCD是矩形可知，AD∥BC，AB=CD，故ON⊥BC，由垂徑定理即可得出結論；（2）延長ON交大圓于點E，由于圓環的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm可知ME=6cm，在Rt△OBE中，利用勾股定理即可求出OM的長．
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和矩形的性質，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能得出正確答案．