Question

在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分線BD交AC與點D，DE⊥DB交AB于點E．
（1）設⊙O是△BDE的外接圓，求證：AC是⊙O的切線；
（2）設⊙O交BC于點F，連接EF，求

EF

AC

的值．

Answer 1

（1）證明：∵DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圓
∴BE是⊙O的直徑，點O是BE的中點，連接OD（1分）
∵∠C=90°
∴∠DBC+∠BDC=90°
又∵BD為∠ABC的平分線
∴∠ABD=∠DBC
∵OB=OD
∴∠ABD=∠ODB
∴∠ODB+∠BDC=90°
∴∠ODC=90°（4分）
又∵OD是⊙O的半徑
∴AC是⊙O的切線（5分）

（2）設⊙O的半徑為r，
在Rt△ABC中，AB²=BC²+CA²=9²+12²=225
∴AB=15（7分）
∵∠A=∠A，∠ADO=∠C=90°
∴△ADO∽△ACB．
∴

AO

AB

=

OD

BC

∴

15-r

15

=

r

9

∴r=

45

8

∴BE=2r=

45

4

，（10分）
又∵BE是⊙O的直徑
∴∠BFE=90°
∴△BEF∽△BAC
∴

EF

AC

=

BE

BA

=

45 4

15

=

3

4

（12分）