Question

【題目】如圖，矩形的頂點、分別在軸和軸上，點的坐標為，雙曲線，的圖象經過上的點與交于點，連接，若若是的中點﹒

(1)求點的坐標；

(2)點是邊上一點，若和相似，求的解析式；

(3)若點也在此反比例函數的圖象上（其中），過點作軸的垂線，交軸于點，若線段上存在一點，使得的面積是，設點的縱坐標為，求的值．

Answer 1

【答案】(1)點的坐標為；(2)的解析式為：，或；(3)．

【解析】

（1）先求出點E的坐標，求出雙曲線的解析式，再求出CD＝1，即可得出點D的坐標；

（2）分兩種情況：①△FBC和△DEB相似，當BD和BC是對應邊時，，求出CF，得出F的坐標，用待定系數法即可求出直線BF的解析式；

②當BD與CF是對應邊時，，求出CF、OF，得出F的坐標，用待定系數法即可求出直線BF的解析式；

（3）由題意得出m（3m+6 ）＝3，即m2+2m﹣1＝0，由三角形的面積得出mn＝1，代入得出n2﹣2n＝1，即可得出所求式子的值．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC．

∵B（2，3），E為AB的中點，∴AB＝OC＝3，OA＝BC＝2，AE＝BEAB，∴E（2，），∴k＝23，∴雙曲線解析式為：y；

∵點D在雙曲線y（x＞0）上，∴OCCD＝3，∴CD＝1，∴點D的坐標為：（1，3）；

（2）∵BC＝2，CD＝1，∴BD＝1，分兩種情況：

①△FBC和△DEB相似，當BD和BC是對應邊時，，即，∴CF＝3，∴F（0，0），即F與O重合，設直線BF的解析式為：y＝kx，把點B（2，3）代入得：k，∴直線/span>BF的解析式為：yx；

②△FBC和△DEB相似，當BD與CF是對應邊時，，即，∴CF，∴OF＝3，∴F（0，），設直線BF的解析式為：y＝ax+c，把B（2，3），F（0，）代入得：，解得：a，c，∴直線BF的解析式為：y；

綜上所述：若△FBC和△DEB相似，BF的解析式為：yx或y；

（3）∵點P（m，3m+6）在反比例函數y的圖象上，∴m（3m+6 ）＝3，整理得：m2+2m﹣1＝0．

∵PQ⊥x軸，∴Q點的坐標為：（m，n）．

∵△OQM的面積為，∴OMQM，∴OMQM＝1．

∵m＞0，∴mn＝1，∴m，代入m2+2m﹣1＝0得：1＝0，即n2﹣2n﹣1＝0，∴n2﹣2n＝1，∴n2﹣2n+9＝10．