Question

【題目】已知，如圖①，在ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向勻速平移得到△PNM，速度為1cm/s；同時，點Q從點C出發，沿CB方向勻速移動，速度為1cm/s，當△PNM停止平移時，點Q也停止移動，如圖②，設移動時間為t（s）（0＜t＜4），連接PQ，MQ，MC，解答下列問題：

（1）當t為何值時，PQ∥MN？

（2）設△QMC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；

（3）是否存在某一時刻t，使S△QMC：S四邊形ABQP=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

（4）是否存在某一時刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】t=；y=－；1:4；t=

【解析】試題分析： 當PQ∥MN時，可得： ，從而得到： ，解方程求出的值；

作于點，則可以得到，根據相似三角形的性質可以求出， ，利用三角形的面積公式求出與的關系式；

根據S△QMC: 可以得到關于的方程，解方程求出的值；

作于點， 于點，則△CPD∽△CBA，利用相似三角形的性質可以得到： ，解方程求出的值.

試題解析：(1)如圖所示，

若PQ∥MN，則有，

∵， ， ，

∴，

即，

解得.

(2)如圖所示，

作于點，則△CPD∽△CBA，

∴,

∵， ， ，

∴，

∴

又∵，

∴△QMC的面積為：

(3)存在時，使得S△QMC: .

理由如下：

∵PM∥BC

∴

∵S△QMC: ，

∴S△PQC: S△ABC=1:5，

∵

.∴

∴

∴

∴存在當時，S△QMC: ；

(4)存在某一時刻，使.

理由如下：

如圖所示，

作于點， 于點，則△CPD∽△CBA，

∴,

∵， ， ， ，

∴，

∴， .

∵PQ⊥MQ，

∴△PDQ∽△QEM，

∴，

即

∵，

，

，

∴，

即，

∴， （舍去）

∴當時，使PQ⊥MQ.