Question

【題目】如果方程x2+px+q=0有兩個實數根x1， x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，請根據以上結論，解決下列問題：

（1）已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，則=?

（2）已知a、b、c滿足a+b+c=0，abc=16，求正數c的最小值．

（3）結合二元一次方程組的相關知識，解決問題：已知和是關于x，y的方程組的兩個不相等的實數解．問：是否存在實數k，使得y1y2﹣=2？若存在，求出的k值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）43（2）4（3）存在，當k=﹣2時，

【解析】

（1）根據a，b是x2+15x+5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值．

（2）根據a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，再根據c2-4≥0，即可求出c的最小值．

（3）運用根與系數的關系求出x1+x2=1，x1x2=k+1，再解y1y2-=2，即可求出k的值．

（1）∵a、b是方程x2+15x+5=0的二根，

∴a+b=﹣15，ab=5，

∴===43，

故答案是：43；

（2）∵a+b+c=0，abc=16，

∴a+b=﹣c，ab= ，

∴a、b是方程x2+cx+=0的解，

∴c2﹣4≥0，c2﹣≥0，

∵c是正數，

∴c3﹣43≥0，c3≥43 ， c≥4，

∴正數c的最小值是4．

（3）存在，當k=﹣2時， ．

由x2﹣y+k=0變形得：y=x2+k，

由x﹣y=1變形得：y=x﹣1，把y=x﹣1代入y=x2+k，并整理得：x2﹣x+k+1=0，

由題意思可知，x1 ， x2是方程x2﹣x+k+1=0的兩個不相等的實數根，故有：

即：

解得：k=﹣2．