Question

⊙O過△ABC頂點A，C，且與AB，BC交于K，N（K與N不同）．△ABC外接圓和△BKN外接圓相交于B和M．求證：∠BMO=90°．（第26屆IMO第五題）

Answer 1

證明：連接OC，OK，MC，MK，延長BM到G，
∵△ABC外接圓和△BKN外接圓相交于B和M，
∴∠GMC=∠BAC=∠BNK=∠BMK，
而∠COK=2•∠BAC=∠GMC+∠BMK=180°-∠CMK，
∴∠COK+∠CMK=180°，
∴C，O，K，M四點共圓，
在這個圓中，由OC=OK得

OC

=

OK

，
∴∠OMC=∠OMK，但∠GMC=∠BMK，
∴∠BMO=90°．