Question

【題目】已知：如圖，一次函數的圖象分別與x軸、y軸相交于點A、B，且與經過點C（2，0）的一次函數y=kx+b的圖象相交于點D，點D的橫坐標為4，直線CD與y軸相交于點E．

（1）直線CD的函數表達式為　 　；（直接寫出結果）

（2）點Q為線段DE上的一個動點，連接BQ．

①若直線BQ將△BDE的面積分為1：2兩部分，試求點Q的坐標；

②將△BQD沿著直線BQ翻折，使得點D恰好落在直線AB下方的坐標軸上,請直接寫出點Q的坐標: .

Answer 1

【答案】（1）y=3x﹣6；（2）①（，﹣2）或（，2）；②存在，點Q的坐標為（3，3）或（，）．

【解析】

（1）求出C、D兩點坐標即可解決問題；

（2）①分兩種情形S△BEQ=S△BDE或S△BEQ=S△BDE分別構建方程即可；

②分兩種情形：當點D落在x正半軸上（記為點D1）時，如圖2中；當點D落在y負半軸上（記為點D2）時，如圖3中；分別求解即可.

解：（1）由題意：D（4，6），C（2，0），

設直線CD的解析式為y=kx+b，

則有，

解得，

∴直線CD的解析式為y=3x﹣6，

故答案為：y=3x﹣6；

（2）①∵直線BQ將△BDE的面積分為1：2兩部分，

∴S△BEQ=S△BDE或S△BEQ=S△BDE，

在y=x+3中，當x=0時，y=3；當x=4時，y=6，

∴B（0，3），D（4，6）．

在y=3x﹣6中，當x=0時，y=﹣6，

∴E（0，﹣6），

∴BE=9，

如圖1中，過點D作DH⊥y軸于點H，則DH=4，

∴S△BDE=BEDH=×9×4=18，

∴S△BEQ=×18=6或S△BEQ=×18=12，

設Q（t，3t﹣6），由題意知t＞0，

過點Q作QM⊥y軸于點M，則QM=t，

∴×9×t=6或×9×t=12，

解得t=或，

當t=時，3t﹣6=﹣2，

當t=時3t﹣6=2，

∴Q的坐標為（，﹣2）或（，2）；

②當點D落在x正半軸上（記為點D1）時，如圖2中，

由（2）知B（0，3），D（4，6），

∴BH=BO=3，

由翻折得BD=BD1，

在△Rt△DHB和Rt△D1OB中，

，

∴Rt△DHB≌Rt△D1OB（HL），

∴∠DBH=∠D1BO，

由翻折得∠DBQ=∠D1BQ，

∴∠HBQ=∠OBQ=90°，

∴BQ∥x軸，

∴點Q的縱坐標為3，

在y=3x﹣6中，當y=3時，x=3，

∴Q（3，3）；

當點D落在y負半軸上（記為點D2）時，如圖3中，

過點Q作QM⊥BD，QN⊥OB，垂足分別為點M、N，

由翻折得∠DBQ=∠D2BQ，

∴QM=QN，

由（2）知S△BDE=18，即S△BQD+S△BQE=18，

∴BDQM+BEQN=18，

由兩點之間的距離公式，得BD==5，

∴×5QN+×9QN=18，

解得QN=，

∴點Q的橫坐標為，

在y=3x﹣6中，當x=時，y=，

∴Q（，）．

綜合知，點Q的坐標為（3，3）或（，）．