Question

已知函數y=x²-4x與x軸交于原點O及點A，直線y=x+a過點A與拋物線交于點B．
（1）求點B的坐標與a的值；
（2）是否在拋物線的對稱軸存在點C，在拋物線上存在點D，使得四邊形ABCD為平行四邊形？若存在求出C、D兩點的坐標，若不存在說明理由；
（3）若（2）中的平行四邊形存在，則以點C為圓心，CD長為半徑的⊙C與直線AB有何位置關系？并請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函數y=x²-4x與x軸交于原點O及點A，當y=0，0=x²-4x，求出圖象與x軸交點坐標，進而求出a的值，再求出兩圖象交點坐標，即可得出B點坐標；
（2）利用平行四邊形的性質得出C，D兩點坐標即可；
（3）根據兩點之間的距離求法得出CD=AB=3

2

，BC=

12+52

=

26

，AC=

22+22

=2

2

，即可得出AC⊥AB，進而得出⊙C與直線AB相交．

解答：解：（1）∵函數y=x²-4x與x軸交于原點O及點A，
∴當y=0，0=x²-4x，
解得：x₁=0，x₂=4，
故圖象與x軸交于A點：（4，0），
將A點代入y=x+a，
得：0=4+a，
則a=-4，
將y=x-4與y=x²-4x聯立：

y=x-4 y=x2-4x

，
解得：

x1=1 y1=-3

，

x2=4 y2=0

，
故B的坐標（1，-3），a=-4；

（2）存在．
如圖所示，假設四邊形ABCD為平行四邊形，
因為BC∥AD，BC=AD，又點B坐標為（1，-3），點C的橫坐標為2，點A的橫坐標為4，
所以點D的橫坐標為4+1=5，點D的縱坐標y=5²-4×5=5，點C的縱坐標為-3+5=2，
即C（2，2），D（5，5）；

（3）⊙C與直線AB相交．理由如下：
如圖所示，連接AC，
∵C（2，2），D（5，5），B（1，-3），A（4，0），
∴CD=AB=3

2

，BC=

12+52

=

26

，AC=

22+22

=2

2

，
∴CD²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC⊥AB，
∵AC=2

2

＜3

2

，
因此⊙C與直線AB相交．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及平面內兩點之間的距離求法，正確求出C，D兩點距離是解題關鍵．