Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D與點B在AC同側，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，過點B作BE∥DA交DC于點E，過E作EM∥AC交AB于點M，連結MD.

（1）當∠ADC=80°時，求∠CBE的度數.

（2）當∠ADC=α時:

①求證：BE=CE.

②求證：∠ADM=∠CDM.

③當α為多少度時，DM=EM.

Answer 1

【答案】(1)40°；（2）①見解析，②見解析，③60°

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質可得∠ACD的度數，根據∠ACB=90°可求出∠BCE的度數，根據AD//BE可得∠BED=∠ADC=80°，根據三角形外角性質即可求出∠CBE的度數；（2）①由等腰三角形的性質可得∠ACD=90°-，根據∠ACB=90°可得∠BCE=，根據平行線性質可得∠BED=∠ADC=，利用外角性質可求出∠CBE=，即可證明∠BCE=∠CBE，進而可證明BE=CE；②延長EM交AD于F，由EM∥AC可得，進而可得DF=DE，AF=EC=BE，根據AAS可證明△AFM△BEM，可得FM=EM.，根據等腰三角形三線合一即可證明∠ADM=∠CDM；③由②可得DM⊥EM，由可知tan∠DEM=，可得∠DEM=60°，即可求出∠EDM=30°，進而可得=∠ADC=2∠EDM=60°.

（1）∵AD=CD，∠ADC=80°，

∴∠ACD=（180°-80°）=50°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCE=90°-50°=40°，

∵AD//BE，

∴∠BED=∠ADC=80°，

∴∠CBE=∠BED-∠BCE=80°-40°=40°.

（2）①，，

∴

∵AD=CD，

∴∠ACD=（180°-）=90°-，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCE=90°-∠ACD= ，

∴∠CBE=∠BED-∠BCE= ，

∴∠CBE=∠BCE，

∴BE=CE.

②延長EM交AD于F

∵，

∴，

∴，

∴AF=EC=BE

∵BE//AD，

∴∠FAM=∠EBM，∠AFM=∠BEM，

∴△AFM△BEM

∴FM=EM.

∴根據三線合一性可得∠ADM=∠CDM

③∵DF=DE，FM=EM，

∴DM⊥EM，

∵DM=EM.

∴tan∠DEM==，

∴∠DEM=60°，

∴∠EDM=30°，

∴=∠ADC=2∠EDM=60°.