Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）和B（3，0）兩點，與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點E，點D為頂點，連接BD、CD、BC．

（1）求二次函數解析式及頂點坐標；
（2）點P為線段BD上一點，若S△BCP= ，求點P的坐標；
（3）點M為拋物線上一點，作MN⊥CD，交直線CD于點N，若∠CMN=∠BDE，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（﹣1，0）和B（3，0）兩點代入拋物線y=x2+bx+c中得：

，解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴D（1，﹣4）

（2）解：C（0，﹣3），由勾股定理得：BC2=32+32=18，

CD2=12+（4﹣3）2=2，

BD2=（3﹣1）2+42=20，

∴CD2+BC2=BD2，

即∠BCD=90°，

∴△BCD是直角三角形；

∴S△BCD=3

由S△BCP= ，

∴P為BD中點．

∴P（2，﹣2）

（3）解：∵∠CMN=∠BDE，

∴tan∠BDE=tan∠CMN= = ，

∴ = ，

同理得：CD的解析式為：y=﹣x﹣3，

設N（a，﹣a﹣3），M（x，x2﹣2x﹣3），

①如圖2，過N作GF∥y軸，過M作MG⊥GF于G，過C作CF⊥GF于F，

則△MGN∽△NFC，

∴ =2，

∴ = =2，

則 ，

∴x1=0（舍），x2=5，

當x=5時，x2﹣2x﹣3=12，

∴M（5，12），

②如圖3，過N作FG∥x軸，交y軸于F，過M作MG⊥GF于G，

∴△CFN∽△NGM，

∴ = ，

∴ = = ，則

∴x1=0（舍），x2= ，

當x= 時，y=x2﹣2x﹣3=﹣ ，

∴M（ ，﹣ ），

綜上所述，點M的坐標（5，12）或（ ，﹣ ）．

【解析】（1）利用待定系數法即可得出結論，進而配成頂點式，得出頂點坐標；
（2）先利用勾股定理逆定理判斷出△BCD是直角三角形，進而判斷出點P是BD的中點，即可得出結論；
（3）先求出CD的解析式，再分點N在線段CD上和CD的延長線上，構造相似三角形即可得出結論。
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數的表達式和勾股定理的逆定理的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形才能正確解答此題．