Question

如圖1，已知正方形ABCD，將一個45度角的頂點放在D點并繞D點旋轉，角的兩邊分別交AB邊和BC邊于點E和F，連接EF。求證：EF＝AE+CF
（1） 小明是這樣思考的:延長BC到G，使得CG＝AE，連接DG，先證△DAE≌△DCG，再證△DEF≌△DGF，請你借助圖2，按照小明的思路，寫出完整的證明思路。
（2）劉老師看到這條題目后，問了小明兩個小問題：①如果正方形的邊長和△BEF的面積都等于6，求EF的長；②將角繞D點繼續旋轉，使得角的兩邊分別和AB邊延長線、BC邊的延長線交于E和F，如圖3所示，猜想EF、AE、CF三線段之間的數量關系并給予證明。請你幫忙解決。

Answer 1

證明見解析

（1）略（2）①設EF＝x  由（1）知四邊形DEBG的面積＝正方形ABCD 的面積＝36，又△三角形BEF的面積是6，所以四邊形DEFG的面積為30，因為△DAE≌△DCG，EF＝FG＝x ，所以三角形DFG的面積為15，所以1/2×6x ＝15 解得x＝5，所以EF＝5
②如圖3，延長CF到點G，使得CG＝AE,連接DG，易證△DAE≌△DCG 所以∠CDG＝∠ADE，∵∠ADE+∠CDE＝90度 ， ∴∠CDG+∠CDE＝90度，∵∠EDF＝45度，∴∠GDF＝45度，易證△DFE≌△DFG, ∴FE＝FG , ∴CG-CF＝FG＝EF ∴EF＝AE-CF
（1）延長BC到G，使得CG=AE，連接DG，根據正方形的性質推出AD=DC，∠A=∠DCG，證△DAE≌△DCG，推出DE=DG，∠EDF=∠FDG=45°，證△DEF≌△DGF推出EF=FG即可；
（2）①設EF=x，由（1）知得出四邊形DEBG的面積=正方形ABCD的面積=36，求出△DFG的面積為15，根據三角形的面積公式求出即可；②延長CF到點G，使得CG=AE，連接DG，與（1）類似求出△DAE≌△DCG，再證△DFE≌△DFG，推出EF=FG即可．