Question

如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為D．
（1）求出A、B的坐標和△ABC的面積；
（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F，
①點P在線段BC上移動的過程中，四邊形PEDF是否能成為平行四邊形？若能，求此時點F的坐標；若不能，請說明理由；
②是否存在一點P，使△BCF的面積最大？若存在，求出點P的坐標及△BCF的面積最大值．若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的解析式即可求得A、B、C、D的坐標，以AB為底，OC為高可求出△ABC的面積；
（2）根據拋物線的解析式，易求得拋物線的對稱軸方程；在△QCA中，AC的長為定值，若△QAC的周長最小，則QC+QA的長度最小；已知A、B關于拋物線的對稱軸對稱，若連接BC，那么Q點必為BC與拋物線對稱軸的交點，可根據B、C的坐標求出直線BC的解析式，聯立拋物線的對稱軸方程即可得到Q點的坐標；
（3）根據直線BC的解析式及拋物線的頂點坐標，即可求得DE的長；可設出F點的橫坐標，然后根據拋物線和直線BC的解析式分別表示出P、F的縱坐標，進而可求得PF的長；
①若四邊形PEDF是平行四邊形，那么PF與DE平行且相等，已知了PF與DE都平行于y軸，令它們的表達式相等，即可求出此時F點的坐標；
②以PF為底，B點橫坐標的絕對值為高，可求出△FCB的面積表達式，由此可得到關于△FCB和P點橫坐標的函數關系式，根據所對函數的性質及自變量的取值范圍即可求出S的最大值，及對應的P點坐標．

解答：解：（1）拋物線y=-x²+2x+3中，令y=0，
則有-x²+2x+3=0，
解得x=-1，x=3；
∴A（-1，0），B（3，0）；
令x=0，得y=3，
∴C（0，3）；
∴S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×3=6；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4；
∴D（1，4），拋物線的對稱軸為x=1；
由于A、B關于x=1對稱，連接BC，
則點Q即為直線BC與拋物線對稱軸的交點；
設直線BC的解析式為y=kx+b，則有：

3k+b=0 b=3

，
解得；

k=-1 b=3

∴直線BC的解析式為y=-x+3；
當x=1時，y=-1+3=2；
∴Q（1，2）；

（3）設F點坐標為（m，-m²+2m+3），則P（m，-m+3）；
易知：D（1，4），E（1，2）；
∴DE=2，PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m；
①由于PF∥DE，若四邊形PFDE是平行四邊形，則PF=DE，
即：-m²+3m=2，
解得m=1（舍去），m=2；
∴P（2，1）；
故四邊形PFDE能夠成為平行四邊形，此時P（2，1）；
②設△BFC的面積為S，則有：
S=

1

2

PF•x_B=

1

2

×（-m²+3m）×3=-

3

2

（m-

3

2

）²+

27

8

；
∴當m=

3

2

時，Smax=

27

8

，此時P（

3

2

，

3

2

）；
故△BFC的面積存在最大值

27

8

，此時P點的坐標為P（

3

2

，

3

2

）．

點評：此題是二次函數的綜合題，涉及到二次函數圖象與坐標軸交點及頂點坐標的求法、因此函數解析式的確定、軸對稱的性質、圖形面積的求法、平行四邊形的判定等重要知識點，綜合性較強，難度偏大．