Question

【題目】已知AB是半圓O的直徑，點C是半圓O上的動點，點D是線段AB延長線上的動點，在運動過程中，保持CD=OA．

（1）當直線CD與半圓O相切時（如圖①），求∠ODC的度數；

（2）當直線CD與半圓O相交時（如圖②），設另一交點為E，連接AE，若AE∥OC，

①AE與OD的大小有什么關系？為什么？

②求∠ODC的度數．

Answer 1

【答案】(1) ∠ODC=45°；(2) AE=OD．理由見解析；∠ODC=36°．

【解析】試題分析：（1）連接OC，因為CD是⊙O的切線，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD，即可求得．

（2）連接OE，

①證明△AOE≌△OCD，即可得AE=OD；

②利用等腰三角形及平行線的性質，可求得∠ODC的度數．

試題解析：（1）如圖①，連接OC，

∵OC=OA，CD=OA，

∴OC=CD，

∴∠ODC=∠COD，

∵CD是⊙O的切線，

∴∠OCD=90°，

∴∠ODC=45°；

（2）如圖②，連接OE．

∵CD=OA，∴CD=OC=OE=OA，

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵AE∥OC，

∴∠2=∠3．

設∠ODC=∠1=x，則∠2=∠3=∠4=x．

∴∠AOE=∠OCD=180°-2x．

①AE=OD．理由如下：

在△AOE與△OCD中，

∴△AOE≌△OCD（SAS），

∴AE=OD．

②∠6=∠1+∠2=2x．

∵OE=OC，∴∠5=∠6=2x．

∵AE∥OC，

∴∠4+∠5+∠6=180°，即：x+2x+2x=180°，

∴x=36°．

∴∠ODC=36°．