Question

如圖，A（1，0），B（4，0），M（5，3）．動點P從點A出發，沿x軸以每秒1個單位長的速度向右移動，且過點P的直線l：y=-x+b也隨之移動．設移動時間為t秒．

（1）當t=1時，求l的解析式；
（2）若l與線段BM有公共點，確定t的取值范圍；
（3）直接寫出t為何值時，點M關于l的對稱點落在y軸上．如不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y=-x+2 （2）3≤t≤7 （3）t為2時，點M關于l的對稱點落在y軸上．

（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征，求出一次函數的解析式；
（2）分別求出直線l經過點B、點M時的t值，即可得到t的取值范圍；
（3）找出點M關于直線l在y軸上的對稱點C，如解答圖所示．求出點C的坐標，然后求出MC中點坐標，最后求出t的值．
解：（1）直線y=-x+b交x軸于點P（1+t，0），
由題意，得b＞0，t≥0，．
當t=1時，-2+b=0，解得b=2，
故y=-x+2．
（2）當直線y=-x+b過點B（4，0）時，
0=-4+b，
解得：b=4，
0=-（1+t）+4，
解得t=3．
當直線y=-x+b過點M（5，3）時，
3=-5+b，
解得：b=8，
0=-（1+t）+8，
解得t=7．
故若l與線段BM有公共點，t的取值范圍是：3≤t≤7．
（3）如圖，

過點M作MC⊥直線l，交y軸于點C，交直線l于點D，則點C為點M在坐標軸上的對稱點．
設直線MC的解析式為y=x+m，則
3=5+m，解得m=-2，
故直線MC的解析式為y=x-2．
當x=0時，y=0-2=-2，
則C點坐標為（0，-2），
∵（0+5）÷2=2.5，
（3-2）÷2=0.5，
∴D點坐標為（2.5，0.5），
當直線y=-x+b過點D（2.5，0.5）時，
0.5=-2.5+b，
解得：b=3，
0=-（1+t）+3，
解得t=2．
∴t為2時，點M關于l的對稱點落在y軸上．