Question

⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，過的中點P作⊙O的直徑PG交弦BC于點D，連接AG，  CP，PB.

(1) 如題24﹣1圖；若D是線段OP的中點，求∠BAC的度數；

(2) 如題24﹣2圖，在DG上取一點k，使DK=DP，連接CK，求證：四邊形AGKC是平行四邊形；

(3) 如題24﹣3圖；取CP的中點E，連接ED并延長ED交AB于點H，連接PH，求證：PH⊥AB.

Answer 1

【解析】(1) ∵AB為⊙O直徑，，

∴PG⊥BC，即∠ODB=90°，

∵D為OP的中點，

∴OD=，

∴cos∠BOD=，

∴∠BOD=60°，

∵AB為⊙O直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠ODB，

∴AC∥PG，

∴∠BAC=∠BOD=60°；

(2) 由（1）知，CD=BD，

∵∠BDP=∠CDK，DK=DP，

∴△PDB≌△CDK，

∴CK=BP，∠OPB=∠CKD，

∵∠AOG=∠BOP，

∴AG=BP，

∴AG=CK

∵OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP，

又∠G=∠OBP，

∴AG∥CK，

∴四邊形AGCK是平行四邊形；

(3) ∵CE=PE，CD=BD，

∴DE∥PB，即DH∥PB

∵∠G=∠OPB，

∴PB∥AG，

∴DH∥AG，

∴∠OAG=∠OHD，

∵OA=OG，

∴∠OAG=∠G，

∴∠ODH=∠OHD，

∴OD=OH，

又∠ODB=∠HOP，OB=OP，

∴△OBD≌△HOP，

∴∠OHP=∠ODB=90°，

∴PH⊥AB.