Question

已知⊙O的半徑為R，⊙P的半徑為r（r＜R），且⊙P的圓心P在⊙O上．設(shè)C是⊙P上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C與⊙P相切的直線交⊙O于A、B兩點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)C在線段OP上，（如圖1）．求證：PA•PB=2Rr；
（2）若點(diǎn)C不在線段OP上，但在⊙O內(nèi)部如圖（2）．此時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)C在⊙O的外部，如圖（3）．此時(shí)，PA•PB與R，r的關(guān)系又如何？請(qǐng)直接寫出，不要求給予證明或說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明：延長(zhǎng)PO交⊙O于點(diǎn)Q，
連接AQ，如圖（1），
∵AB與⊙P相切于點(diǎn)C，且PC是⊙P的半徑，
∴AB⊥PC，即∠PCB=90°．
又∵PQ是⊙O的直徑，
∴∠PAQ=90°．
∵∠PQA=∠PBC，
∴Rt△PAQ∽R(shí)t△PCB，
∴，
即PA•PB=PQ•PC．
又∵PQ=2R，PC=r，
∴PA•PB=2Rr；

（2）解：（1）中的結(jié)論成立．
證明：連接PO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)Q，
連接AQ，PC，如圖（2），
由已知條件，得
∠PAQ=∠PCB=90°．
又∠PQA=∠PBC，
∴Rt△PAQ∽R(shí)t△PCB，
∴，
即PA•PB=PQ•PC=2Rr；

（3）解：PA•PB=2Rr．
分析：（1）本題很明顯是用射影定理來(lái)證明．延長(zhǎng)PO交⊙O于點(diǎn)Q，連接AQ．根據(jù)射影定理有PA²=2Rr，根據(jù)垂徑定理，可知PA=PB，由此可得證；
（2）結(jié)果不變．連接PC，過(guò)P作圓O的直徑PQ，連接AQ，證△PCB∽△PAQ即可．
（3）結(jié)論不變，思路同（2）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．