Question

【題目】閱讀材料，解答下列問題．

如圖1，已知△ABC中，AD 為中線．延長AD至點E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，進一步可得到AC=BE，AC//BE等結論．

在已知三角形的中線時，我們經常用“倍長中線”的輔助線來構造全等三角形，并進一步解決一些相關的計算或證明題．

解決問題：如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，點F為AD上一點，且BF=AC，連結并延長BF交AC于點E，求證：AE=EF．

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

延長AD到M，使DM=AD，連接BM，根據SAS推出△BDM≌△CDA，根據全等三角形的性質得出BM=AC，∠CAD=∠M，根據BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可．

如圖，延長至點，使得，并連結，

∵是三角形的中線，

∴，

在和中，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，即．