Question

已知關于x的方程x²-（k+1）x+k²+1=0的兩根是一個矩形兩鄰邊的長，且矩形的對角線長為，求k的值．

Answer 1

解：設此方程兩根分別是x₁、x₂，那么，
x₁+x₂=-=k+1，x₁•x₂==k²+1，
∵矩形的對角線為，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（）²，
∴（k+1）²-2（k²+1）=5，
即k²+2k-6=0，
解得k=2或k=-6，
∵方程的兩根是矩形兩鄰邊的長，
∴△=b²-4ac≥0，
即（k+1）²-4（k²+1）≥0，
解得k≥，
∴k=2．
分析：先設此方程兩根分別是x₁、x₂，根據根與系數的關系可得x₁+x₂=-=k+1，x₁•x₂==k²+1，由于矩形的對角線長為，根據勾股定理可得x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（）²，于是（k+1）²-2（k²+1）=5，解得k=2或k=-6，再根據根的判別式可知△≥0，即（k+1）²-4（k²+1）≥0，解得k≥，于是可確定k=2．
點評：本題考查了根與系數的關系、根的判別式、勾股定理，解題的關鍵是使用完全平方公式、并解一元二次方程．