Question

【題目】在平面直角坐標系之中，點O為坐標原點，直線分別交x、y軸于點B、A，直線與直線交于點C．

（1）如圖1，求點C的坐標．

（2）如圖2，點P（t，0）為C點的右側x軸上一點，過點P作x軸垂線分別交AB、OC于點N、M，若MN=5NP，求t的值．

（3）如圖3，點F為平面內任意一點，是否存在y軸正半軸上一點E，使點E、F、M、N圍成的四邊形為菱形，若存在求出點E坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C；（2）t=2.4 ； （3）， ， ， ．

【解析】

（1）聯立正比例函數與一次函數解析式組成方程組，求出方程組的解得到x與y的值，確定出C點坐標即可；

（2）設P（t，0），則N（t，），M（t，3t），利用兩點間距離公式表示出MN，NP的長，然后根據題意列方程求解；

（3）根據t的值求出點M，N的坐標和MN的長度，然后分MN為對角線或MN為邊結合菱形的性質和勾股定理進行分情況討論求解．

解：（1）∵直線與直線交于點C．

∴聯立，解得

∴C

（2）設P（t，0），則N（t，），M（t，3t）

MN=3t-（）=， NP=

∵MN=5NP，

∴=5（），

解得t=2.4

（3）經過計算：當t=2.4 時，M（），N（），MN=6，

情況1，以MN為對角線，作MN的垂直平分線交y軸正半軸于點E，

∴MT=NT=3，ET=TF=2.4，

∴此時，即

情況2：以MN為邊，點E在點M的下面，，

作⊥MN，∴

在Rt△中，MY=，

∴此時

情況3：以MN為邊，點E在點M的上面

同理作⊥MN，解得MW=，

此時 或．