Question

已知二次函數的圖象經過點A（-3，-6），并且該拋物線與x軸交于B、C兩點，與y軸的交點為E，P為拋物線的頂點．如圖所示．
（1）求這個二次函數表達式．
（2）設點D為線段OC上的一點，且滿足∠DPC=∠BAC，說明直線PC與直線AC的位置關系，并求出點D的坐標．
（3）在（1）中的拋物線上是否存在一點F，使S_△BCF=S_△BCP？若存在，請直接寫出F點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點A（-3，-6）在拋物線上，
∴-6=-×9-3m+，
解得m=1，
∴所求二次函數的表達式為y=-x²+x+；
（2）∵y=-x²+x+=-（x-1）²+2，
∴P點坐標為（1，2），
如圖，設點D坐標為（a，0），過點P作PH⊥x軸，垂足為H，
過點A作AQ⊥x軸，垂足為Q，
令y=0得-x²+x+=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴B點坐標為（-1，0），C點坐標為（3，0）
∵P（1，2），A（-3，-6），
∴PH=HC=2，QA=QC=6，
∴△PCH和△AQC都是等腰直角三角形，
∴∠PCH=45°，∠ACQ=45°，
∴∠PCA=90°，
∴PC⊥CA；
∵∠DPC=∠BAC，∠PCD=∠ACB，
∴△PDC∽Rt△ABC，
∴=，即=，解得a=，
∴D坐標為（，0）；
（3）存在．
∵S_△BCP=×4×2=4，
而S_△BCF=S_△BCP，
∴S_△BCF=3，
設F點坐標為（x，y）
∴×4×|y|=3，
∴y=或-，
當y=時，-x²+x+=，解得x₁=0，x₂=2；
當y=-時，-x²+x+=-，解得x₁=1+，x₂=1-，
∴F（0，）或（2，）或（1+，-）或（1-，-）．
分析：（1）把A點坐標代入二次函數可求出m，從而確定二次函數的解析式；
（2）先把二次函數配成頂點式得到頂點P的坐標為（1，2），設點D坐標為（a，0），過點P作PH⊥x軸，垂足為H，過點A作AQ⊥x軸，垂足為Q，根據點的坐標可得到
△PCH和△AQC都是等腰直角三角形，則∠PCH=45°，∠ACQ=45°，于是得到直線PC與直線AC垂直；由∠DPC=∠BAC，∠PCD=∠ACB得到△PDC∽Rt△ABC，根據相似比有
=，即=，解得a=，從而得到D點坐標；
（3）先計算出S_△BCP=4，則S_△BCF=S_△BCP=3，設F點坐標為（x，y），則×4×|y|=3，解得y=或-，然后分別代入二次函數解析式中求出對應的x的值，從而得到F點的坐標．
點評：本題考查了二次函數的綜合題：先根據幾何條件確定拋物線上點的坐標，再利用待定系數法確定拋物線的解析式，然后運用二次函數的性質解決有關問題．