Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，且AB=AC，

（1）⊙O的弦AE交于BC于D．求證：ABAC=ADAE；

（2）在（1）的條件下當弦AE的延長線與BC的延長線相交于點D時，上述結論是否還成立？若成立，請給予證明．若不成立，請說明理由．

（3）已知⊙O 的半徑2，∠ACB=40°，求BA的長．（sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，結果精確到0.1）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）上述結論仍成立，理由見解析；（3）AB≈2.6．

【解析】（1）證明：連接CE，

∵AB=AC，

∴ ，

∴∠AEC=∠ACD；

又∵∠EAC=∠DAC，

∴△AEC∽△ACD，

∴，即AC2=ADAE；

又∵AB=AC，

∴ABAC=ADAE．

（2）答：上述結論仍成立．

證明：連接BE，

∵AB=AC，

∴，

∴∠AEB=∠ABD；

又∵∠EAB=∠DAB

∴△AEB∽△ABD，

∴，即AB2=ADAE．

又∵AB=AC，

∴ABAC=ADAE．

（3）解：過A作⊙O的直徑AM，連接BM.

∴∠AMB=90°，

∵∠AMB=∠ACB=40°，

在Rt△ABD中，AM=4，

∵sin∠AMB =0.64，

∴AB=4sin40°=4×0.64≈2.6．