Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點M，N同時從點B出發，分別在BC，BA上運動，若點M的運動速度是每秒2個單位長度，且是點N運動速度的2倍，當其中一個點到達終點時，停止一切運動．以MN為對稱軸作△MNB的對稱圖形△MNB1．點B1恰好在AD上的時間為______秒．在整個運動過程中，△MNB1與矩形ABCD重疊部分面積的最大值為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）如圖，當B′與AD交于點E，作FM⊥AD于F，根據軸對稱的性質可以得出ME=MB=2t，由勾股定理就可以表示出EF，就可以表示出AE，再由勾股定理就可以求出t的值；

（2）根據三角形的面積公式，分情況討論，當0＜t≤和＜t≤4時由求分段函數的方法就可以求出結論．

（1）如下圖，當B′與AD交于點E，作FM⊥AD于F．

∴∠DFM=90°．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD=AB．AD=BC．∠D=∠C=90°．

∴四邊形DCMF是矩形，

∴CD=MF．

∵△MNB與△MNE關于MN對稱，

∴△MNB≌△MNE，

∴ME=MB，NE=BN．

∵BN=t，BM=2t，

∴EN=t，ME=2t．

∵AB=6，BC=8，

∴CD=MF=6，CB=DA=8．AN=6-t

在Rt△MEF和Rt△AEN中，由勾股定理，得

EF=，AE=，

∴+=2t，

∴t=．

（2）如圖所示：

∵△MNB1與△MNB關于MN對稱，

∴∠MB1N=∠MBN=90°．

∵∠MB1N+∠MBN+∠B1MB+∠B1NB=360°，

∴∠B1MB+∠B1NB=180°．

∵∠B1NA+∠B1NB=180°，

∴∠B1NA=∠B1MB．

在變化過程中,∴∠B1NA不變

由（1）得tan∠B1NA=，

∴tan∠B1MB=．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠B1FG=∠B1MB．

∵BN=t，BM=2t，

∴B1N=t，MB1=2t．

∵AB=6，BC=8，

∴CD=MF=6，CB=DA=8．AN=6-t

∴GA=（6-t），GN=（6-t），

∵B1G=B1N-GN=t-（6-t）=t-10，

∴B1F=（t-10）×=2t-．

∴當＜t≤4時，

S=t2-（2t-）（t-10）=-（t-6）2+，

∴t=4時，S最大=．

當0＜t≤時，S=t2．

∴t=時，S最大=．

∵＞．

∴最大值為．

故答案為：（1）；（2）．