Question

閱讀下列材料，按要求解答問題。

（1）觀察下面兩塊三角尺，它們有一個共同的性質：∠A＝2∠B，我們由此出發來進

行思考。

在圖（1）中，作斜邊AB上的高CD，由于∠B＝30°，可知c＝2b，于是AD＝，

BD＝c－。由于△CDB∽△ACB，可知＝，即a²＝c·BD。

同理b²＝c·AD。于是a²－b²＝c（BD－AD）＝c［（c－）－］＝c（c－b）

＝c（2b－b）

＝bc。對于圖（2），由勾股定理有a²＝b²＋c²，由于b＝c，故有a2－b²＝bc。

這兩塊三角尺都具有性質a²－b²＝bc。

在△ABC中，如果一個內角等于另一個內角的2倍，我們就稱這種三角形為倍角三角   

形。兩塊三角尺就都是特殊的倍角三角形。對于任意的倍角三角形，上面的性質仍然

成立嗎？暫時把我們的設想作為一個猜測：

如圖（3），在△ABC中，若∠CAB＝2∠ABC，則a²－b²＝bc。

在上述由三角尺的性質到猜想這一認識過程中，用到了下列四種數學思想方法中的哪  

一種？選出一個正確的并將其序號填在括號內………………………………………（  ）

①分類的思想方法  ②轉化的思想方法  ③由特殊到一般的思想方法  ④數形結合的

思想方法

（2）這個猜測是否正確？請證明。

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）③ （2）證明：如圖，作∠CAB的平分線AD交BC于點D。 則∠B＝∠DAB＝∠CAD，∠CDA＝2∠B。 則△ADC∽△BAC，∴ ＝。 ＝。 設AD＝BD＝x，則CD＝a－x。   ∴ ＝，＝。 ∴ ax＝bc，a2－ax＝b2。 ∴a2－bc＝b2，即a2－b2＝bc。