Question

【題目】如圖1，四邊形是矩形，點的坐標為，點的坐標為.點從點出發，沿以每秒1個單位長度的速度向點運動，同時點從點出發，沿以每秒2個單位長度的速度向點運動，當點與點重合時運動停止.設運動時間為秒.

（1）當時，線段的中點坐標為________；

（2）當與相似時，求的值；

（3）當時，拋物線經過、兩點，與軸交于點，拋物線的頂點為，如圖2所示.問該拋物線上是否存在點，使，若存在，求出所有滿足條件的點坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）的中點坐標是；（2）或；（3），.

【解析】（1）先根據時間t=2，和速度可得動點P和Q的路程OP和AQ的長，再根據中點坐標公式可得結論；

（2）根據矩形的性質得：∠B=∠PAQ=90°，所以當△CBQ與△PAQ相似時，存在兩種情況：

①當△PAQ∽△QBC時，，②當△PAQ∽△CBQ時，，分別列方程可得t的值；

（3）根據t=1求拋物線的解析式，根據Q（3，2），M（0，2），可得MQ∥x軸，∴KM=KQ，KE⊥MQ，畫出符合條件的點D，證明△KEQ∽△QMH，列比例式可得點D的坐標，同理根據對稱可得另一個點D．

（1）如圖1，∵點A的坐標為（3，0），

∴OA=3，

當t=2時，OP=t=2，AQ=2t=4，

∴P（2，0），Q（3，4），

∴線段PQ的中點坐標為：（，），即（，2）；

故答案為：（，2）；

（2）如圖1，∵四邊形OABC是矩形，

∴∠B=∠PAQ=90°

∴當△CBQ與△PAQ相似時，存在兩種情況：

①當△PAQ∽△QBC時，，

∴，

4t2-15t+9=0，

（t-3）（t-）=0，

t1=3（舍），t2=，

②當△PAQ∽△CBQ時，，

∴，

t2-9t+9=0，

t=，

∵0≤t≤6，＞7，

∴x=不符合題意，舍去，

綜上所述，當△CBQ與△PAQ相似時，t的值是或；

（3）當t=1時，P（1，0），Q（3，2），

把P（1，0），Q（3，2）代入拋物線y=x2+bx+c中得：

，解得：，

∴拋物線：y=x2-3x+2=（x-）2-，

∴頂點k（，-），

∵Q（3，2），M（0，2），

∴MQ∥x軸，

作拋物線對稱軸，交MQ于E，

∴KM=KQ，KE⊥MQ，

∴∠MKE=∠QKE=∠MKQ，

如圖2，∠MQD=∠MKQ=∠QKE，設DQ交y軸于H，

∵∠HMQ=∠QEK=90°，

∴△KEQ∽△QMH，

∴，

∴，

∴MH=2，

∴H（0，4），

易得HQ的解析式為：y=-x+4，

則，

x2-3x+2=-x+4，

解得：x1=3（舍），x2=-，

∴D（-，）；

同理，在M的下方，y軸上存在點H，如圖3，使∠HQM=∠MKQ=∠QKE，

由對稱性得：H（0，0），

易得OQ的解析式：y=x，

則，

x2-3x+2=x，

解得：x1=3（舍），x2=，

∴D（，）；

綜上所述，點D的坐標為：D（-，）或（，）．