Question

如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．

  

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若點D，點E分別是弧AB的三等分點，當AD=5時，求BF的長和扇形DOE的面積；

（3）在（2）的條件下，如果以點C為圓心，r為半徑的圓上總存在不同的兩點到點O的距離為5，則r的取值范圍為           ．

 

Answer 1

【答案】

（1）由∠CBF＝∠CFB可得CB＝CF，即可得到CB＝AC＝CF，再根據以C為圓心AC長為半徑的⊙C過A、B、F可得∠ABF＝90°，從而可以證得結論；（2），；（3）＜r＜

【解析】

試題分析：（1）由∠CBF＝∠CFB可得CB＝CF，即可得到CB＝AC＝CF，再根據以C為圓心AC長為半徑的⊙C過A、B、F可得∠ABF＝90°，從而可以證得結論；

（2）連接DO，EO，由點D，點E分別是弧AB的三等分點可得∠AOD＝60°，即可證得△AOD是等邊三角形  ，則∠OAD＝60°，AB=10，再根據正切函數的定義及三角形的面積公式求解即可；

（3）連接OC，由圓心距OC＝，圓O半徑r=5即可求得結果．

（1）∵∠CBF＝∠CFB

∴CB＝CF   

又∵AC＝CF 

∴CB＝AC＝CF

∴以C為圓心AC長為半徑的⊙C過A、B、F  

∴∠ABF＝90°

∴直線BF是⊙O的切線；

（2）連接DO，EO

∵點D，點E分別是弧AB的三等分點 

∴∠AOD＝60°

又∵OA＝OD 

∴△AOD是等邊三角形  

∴∠OAD＝60°，AB=10

在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，AB=10

∴BF＝

；

（3）連接OC

∵圓心距OC＝，圓O半徑r=5

∴＜r＜．

考點：圓的綜合題

點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.