Question

【題目】如圖，將一副直角三角板放在同一條直線AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．

（1）將圖①中的三角板OMN沿BA方向平移至圖②的位置，MN與CD相交于點E，求∠CEN的度數；

（2）將圖①中的三角板OMN繞點O按逆時針方向旋轉，使∠BON=30°，如圖③，MN與CD相交于點E，求∠CEN的度數；

（3）將圖①中的三角尺COD繞點O按每秒15°的速度沿順時針防線旋轉一周，在旋轉過程中，在第幾秒時，MN恰好與CD平行；第幾秒時，MN恰好與直線CD垂直．

Answer 1

【答案】（1） 105°；（2） 135°； （3）5或17；11或23

【解析】

（1）根據三角形的內角和定理列式計算即可得解；

（2）根據內錯角相等，兩直線平行判斷出MN∥BC，再根據兩直線平行，同旁內角互補解答；

（3）作出圖形，然后分兩種情況求出旋轉角，再根據時間=旋轉角÷速度計算即可得解．

解：（1）在△CEN中，

∠CEN=180°-∠DCN-∠MNO=180°-45°-30°=105°

（2）∵∠BON=∠N=30°，

∴MN∥CB，

∴∠CEN=180°-∠DCO=180°-45°=135°

（3）如圖1，CD在AB上方時，設OM與CD相交于F，

∵CD∥MN，

∴∠OFD=∠M=60°，

在△ODF中，∠MOD=180°-∠D-∠OFD，

=180°-45°-60°，

=75°，

∴旋轉角為75°，

t=75°÷15°=5秒；

CD在AB的下方時，設直線OM與CD相交于F，

∵CD∥MN，

∴∠DFO=∠M=60°，

在△DOF中，∠DOF=180°-∠D-∠DFO=180°-45°-60°=75°，

∴旋轉角為75°+180°=255°，

t=255°÷15°=17秒；

綜上所述，第5或17秒時，邊CD恰好與邊MN平行；

如圖2，CD在OM的右邊時，設CD與AB相交于G，

∵CD⊥MN，

∴∠NGC=90°-∠MNO=90°-30°=60°，

∴∠CON=∠NGC-∠OCD=60°-45°=15°，

∴旋轉角為180°-∠CON=180°-15°=165°，

t=165°÷15°=11秒，

CD在OM的左邊時，設CD與AB相交于G，

∵CD⊥MN，

∴∠NGD=90°-∠MNO=90°-30°=60°，

∴∠AOC=∠NGD-∠C=60°-45°=15°，

∴旋轉角為360°-∠AOC=360°-15°=345°，

t=345°÷15°=23秒，

綜上所述，第11或23秒時，直線CD恰好與直線MN垂直．