Question

如圖，在△ABC中，內(nèi)角平分線BP和外角平分線CP相交于點P，根據(jù)下列條件求∠P的度數(shù)．
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，則∠P=

25°

，若∠ABC+∠ACB=110°，則∠P=

35°

；
（2）若∠BAC=90°，則∠P=

45°

；
（3）從以上的計算中，你能發(fā)現(xiàn)∠P與∠BAC的關(guān)系是

∠P=

1

2

∠A

；
（4）證明第（3）題中你所猜想的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)互為鄰補角的和等于180°求出∠ACD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠PBC、∠PCD，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可求出∠P的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠PCD，整理即可得解；
（2）根據(jù)（1）的思路可以求出∠P=

1

2

∠BAC；
（3）根據(jù)計算得出關(guān)系式即可；
（4）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠ACD與∠PCD，再根據(jù)角平分線的定義可得∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCD=

1

2

∠ACD，然后整理即可得證．

解答：（1）解：∵∠ACB=80°，
∴∠ACD=180°-80°=100°，
∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的平分線，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC=

1

2

×50°=25°，∠PCD=

1

2

∠ACD=

1

2

×100°=50°，
在△PCD中，∠PBC+∠P=∠PCD，
即25°+∠P=50°，
解得∠P=25°；
∵∠ABC+∠ACB=110°，
∴∠A=180°-110°=70°，
∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的平分線，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCD=

1

2

∠ACD，
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠PCD=∠PBC+∠P，
∴∠A+∠ABC=2（∠PBC+∠P）=2∠PBC+2∠P，
∴∠A=2∠P，
∠P=

1

2

∠A=

1

2

×70°=35°；

（2）解：∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的平分線，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCD=

1

2

∠ACD，
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠PCD=∠PBC+∠P，
∴∠BAC+∠ABC=2（∠PBC+∠P）=2∠PBC+2∠P，
∴∠BAC=2∠P，
∠P=

1

2

∠BAC，
∵∠BAC=90°，
∴∠P=45°；

（3）由計算可知，∠P=

1

2

∠A；

（4）證明：∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的平分線，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCD=

1

2

∠ACD，
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠PCD=∠PBC+∠P，
∴∠BAC+∠ABC=2（∠PBC+∠P）=2∠PBC+2∠P，
∴∠BAC=2∠P，
∠P=

1

2

∠BAC．
故答案為：（1）25°，35°；（2）45°；（3）∠P=

1

2

∠A．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，規(guī)律性較強，但難度不大，用兩種方法表示出∠PCD是解題的關(guān)鍵．