Question

【題目】已知拋物線與軸交于點、（點在點的左側），與軸交于點.

（1）求點，點的坐標；

（2）我們規定：對于直線，直線，若，則直線；反過來也成立.請根據這個規定解決下列問題：

①直線與直線是否垂直？并說明理由；

②若點是拋物線的對稱軸上一動點，是否存在點與點，點構成以為直角邊的直角三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）點坐標為，點坐標為；（2） ①不垂直，理由詳見解析；②存在，點的坐標為或.

【解析】

（1）令，求出x的值，根據點在點的左側求出A的坐標，令，求出y的值即可求出C的坐標；

（2）①分別求出兩條直線的斜率，然后根據兩斜率的積不等于-1即可證明兩直線不垂直；②根據點，點的坐標求出直線AC的函數表達式，然后對時與時兩種情況分別討論計算即可.

解：

（1）當時，，解得，

∵點在點的左側，

∴點坐標為

當時，

∴點坐標為.

（2）①不垂直；由，得，由，得

∵

∴直線與直線不垂直；

②存在.

∵

∴拋物線的對稱軸為直線.

設直線，根據題意得,解得

∴直線的函數表達式為

分兩種情況：Ⅰ）當時，如圖，根據新定義可設

∵點坐標為

∴

∴

直線的函數表達式為，當時，

此時點坐標為；

Ⅱ）當時，如圖，根據新定義可設

∵點坐標為

∴，

∴直線的函數表達式為，當時，，

此時點坐標為；

綜上，點的坐標為或.