Question

【題目】如圖1，直線交x軸于點A，交y軸于點C（0，4），拋物線經過點A，交y軸于點B（0，﹣2）．點P為拋物線上一個動點，過點P作x軸的垂線PD，過點B作BD⊥PD于點D，連接PB，設點P的橫坐標為m．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當△BDP為等腰直角三角形時，求線段PD的長；

（3）如圖2，將△BDP繞點B逆時針旋轉，得到△BD′P′，且旋轉角∠PBP′=∠OAC，當點P的對應點P′落在坐標軸上時，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PD=或PD=；（3）P（﹣，）或P（，）或P（，）．

【解析】

試題分析：（1）先確定出點A的坐標，再用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）由△BDP為等腰直角三角形，判斷出BD=PD，建立m的方程計算出m，從而求出PD；

（3）分點P′落在x軸和y軸兩種情況計算即可．

試題解析：（1）∵點C（0，4）在直線上，∴n=4，∴，令y=0，∴x=3，∴A（3，0），∵拋物線經過點A，交y軸于點B（0，﹣2），∴c=﹣2，6+3b﹣2=0，∴b=，∴拋物線解析式為；

（2）點P為拋物線上一個動點，設點P的橫坐標為m，∴P（m，），∴BD=|m|，PD==，∵△BDP為等腰直角三角形，且PD⊥BD，∴BD=PD，∴|m|=，∴m=0（舍），m=，m=，∴PD=或PD=；

（3）∵∠PBP'=∠OAC，OA=3，OC=4，∴AC=5，∴sin∠PBP'=，cos∠PBP'=，分兩種情況討論：

①當點P'落在x軸上時，過點D'作D'N⊥x軸，垂足為N，交BD于點M，∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP'，如圖1，

ND'﹣MD'=2，∴，∴m=（舍），或m=﹣；

如圖2， ND'+MD'=2，∴，∴m=，或m=﹣（舍），∴P（﹣，）或P（，）；

②當點P'落在y軸上時，如圖3，過點D′作D′M⊥x軸，交BD于M，過P′作P′N⊥y軸，∴∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′，∵P′N=BM，∴，∴m=，∴P（，）；

綜上所述：P（﹣，）或P（，）或P（，）．