Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+3經過點A（﹣1，0），B（2，0）兩點，與y軸交于點C，點D是拋物線上一個動點，設點D的橫坐標為m（0＜m＜2）．連接AC，BC，DB，DC．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）△BCD的面積何時最大？求出此時D點的坐標和最大面積；

（3）在（2）的條件下，若點M是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當m=1，△BCD面積最大為，此時D點為（1，3）；（3）存在，點N的坐標為：（0，3）或（，﹣3）或（，﹣3）

【解析】

（1）由拋物線交點式表達式得：y=a（x+1）（x﹣2），將（0，3）代入上式，即可求解；

（2）過點D作y軸的平行線交直線BC與點H，由S△BDC=S△DHC+S△HDB=HD×OB，即可求解；

（3）分BD是平行四邊形的一條邊、BD是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）由拋物線交點式表達式得：y=a（x+1）（x﹣2），

將（0，3）代入上式得：﹣2a=3，解得：a=，

故拋物線的表達式為：；

（2）點C（0，3），B（2，0），

設直線BC的表達式為：y=kx+n，則，解得：，

故直線BC的表達式為：，

如圖所示，過點D作y軸的平行線交直線BC與點H，

設點D（m，），則點H（m，m+3），

S△BDC=S△DHC+S△HDB=HD×OB=，

∵﹣＜0，故△BCD的面積有最大值，

當m=1，△BCD面積最大為，此時D點為（1，3）；

（3）m=1時，D點為（1，3），

①當BD是平行四邊形的一條邊時，

設點N（n，），

則點N的縱坐標為絕對值為3，

即，

解得：n=0或1（舍去）或，

故點N的坐標為（0，3）或（，﹣3）或（，﹣3），

②當BD是平行四邊形的對角線時，

設點M（z，0），點N（s，t），

由中點坐標公式得：，解得t=3，

而，解得s=0或s=1（舍去），

N的坐標為（0，3）；

綜上，點N的坐標為：（0，3）或（，﹣3）或（，﹣3）．