Question

如圖，已知拋物線過點A（0，6），B（2，0），C（6，0），直線AB交拋物線的對稱軸于點F，直線AC交拋物線對稱軸于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：點E與點F關于頂點D對稱；
（3）在y軸上是否存在這樣的點P，使△AFP與△FDC相似？若有，請求出所有合條件的點P的坐標；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據點B、C的坐標設拋物線解析式為y=a（x-2）（x-6），把點A坐標代入求解得到a的值，即可得到函數解析式；
（2）根據拋物線解析式確定出對稱軸與頂點坐標，利用待定系數法求出直線AB、AC的解析式，然后求出點E、F的坐標，即可得證；
（3）根據點A、B、C、D、F的坐標求出AF、FD、FC的長度，再利用正切函數確定出∠BAO=∠CFD，然后利用兩邊對應成比例，夾角相等，兩三角形相似分兩種情況列出比例式求出AP的長度，再求出OP的長度，即可得到點P的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線過點B（2，0），C（6，0），
∴設拋物線解析式為y=a（x-2）（x-6），
又∵拋物線經過點A（0，6），
∴a（0-2）（0-6）=6，
解得a=

1

2

，
所以，拋物線解析式為y=

1

2

（x-2）（x-6），
即y=

1

2

x²-4x+6；

（2）證明：∵y=

1

2

x²-4x+6=

1

2

（x²-8x+16）-2=

1

2

（x-4）²-2，
∴拋物線對稱軸為直線x=4，頂點坐標為D（4，-2），
設直線AC解析式為y=kx+b，
則

b=6 6k+b=0

，
解得

k=-1 b=6

，
所以，直線AC的解析式為y=-x+6，
當x=4時，y=-4+6=2，
所以，點E（4，2），
所以，DE=2-（-2）=4，
設直線AB解析式為y=ex+f，
則

f=6 2e+f=0

，
解得

e=-3 f=6

，
所以，直線AB的解析式為y=-3x+6，
當x=4時，y=-3×4+6=-6，
所以，點F（4，-6），
所以，DF=-2-（-6）=4，
所以，DE=DF，
故，點E與點F關于頂點D對稱；

（3）解：∵A（0，6），B（2，0），C（6，0），D（4，-2），F（4，-6），
∴AF=

(6+6)2+42

=4

10

，FD=-2-（-6）=4，FC=

62+(6-4)2

=2

10

，
∵tan∠BAO=

OB

OA

=

2

6

=

1

3

，tan∠CFD=

6-4

6

=

1

3

，
∴∠BAO=∠CFD，
①當AP與FD是對應邊時，∵△AFP∽△FCD，
∴

AP

FD

=

AF

FC

，
即

AP

4

=

4 10

2 10

，
解得AP=8，
所以，OP=8-6=2，
此時，點P的坐標為（0，-2）；
②當AP與FC是對應邊時，∵△AFP∽△FDC，
∴

AP

FC

=

AF

FD

，
即

AP

2 10

=

4 10

4

，
解得AP=20，
所以，OP=20-6=14，
此時，點P的坐標為（0，-14），
綜上所述，存在點P（0，-2），（0，-14），使△AFP與△FDC相似．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要涉及待定系數法求函數解析式（包括二次函數解析式，直線解析式），兩點間的距離公式，相似三角形對應邊成比例的性質，（1）用交點式解析式求解比較簡單，（3）先利用銳角的正切值相等判斷出∠BAO=∠CFD是解題的關鍵．