Question

已知：如圖,在△ABC中,AB=AC,以AC為直徑的⊙O與BC交于點D,DE⊥AB,垂足為E,ED的延長線與AC的延長線交于點F.

（1）求證：DE是⊙O的切線;
（2）若⊙O的半徑為4,BE=2,求∠F的度數.

Answer 1

（1）證明見解析;（2）∠F=30°．

試題分析：（1）如圖,連結OD．欲證DE是⊙O的切線,只需證得OD⊥ED;
（2）求出AE,證△AED∽△DEB,求出DE,解直角三角形求出∠B=60°=∠ACB,根據三角形外角性質求出即可．
試題解析：（1）如圖,連接OD,AD．

∵AC是直徑,
∴AD⊥BC,
又∵在△ABC中,AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD,∠B=∠C,BD=CD,
∵AO=OC,
∴OD∥AB,
又∵DE⊥AB,
∴DE⊥OD,
∵OD為⊙O半徑,
∴DE是⊙O的切線;
（2）∵⊙O的半徑為4,AB=AC,
∴AC=AB=4+4=8,
∵BE=2,
∴AE=8﹣2=6,
∵DE⊥AB,AD⊥BC,
∴∠AED=∠BED=∠ADB=90°,
∴∠DAE+∠ADE+∠BDE=90°,
∴∠DAE=∠BDE,
∵∠AED=∠BED,
∴△AED∽△DEB,
∴,
∴,
解得：DE=2,
在Rt△BED中,tanB=,
∴∠B=60°,
∴∠CDF=∠EDB=30°,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB=60°,
∴∠F=∠ACB﹣∠CDF=60°﹣30°=30°．