Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20．動點P在線段CB上，以1cm/s的速度從點C向B運動，連接AP，作CE⊥AB分別交AP、AB于點F、E，過點P作PD⊥AP交AB于點D．

（1）線段CE= ；

（2）若t=5時，求證：△BPD≌△ACF；

（3）t為何值時，△PDB是等腰三角形；

（4）求D點經過的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）答案見解析；（3）；（4）12.5

【解析】試題分析：（1）由勾股定理求出AB的長，再由面積法即可得到結論；

（2）用ASA證明即可；

（3）作DG⊥BC，垂足為G，由（2）得∠CAP=∠GPD，可得△ACP∽△PGD．分三種情況討論：①DP=DB，②PD=PB，③PB=DB；

（4）當AP平分∠CAB時，D′B最長，點CB上運動時，D在D′B之間往返運動．故點D運動路徑的長=2BD′，求出BD′的長即可．

試題解析：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=15，BC=20，∴AB==25．∵ABCE=ACBC，，∴25CE=15×20，解得：CE=12．

（2）∵ t=5，∴BF=15，∴AC=BF

∵∠APC+∠BPD=∠APC+∠CAP=90° ，∴∠BPD=∠CAP．

∵∠ACE+∠BCE=∠BCE+∠B=90° ，∴∠ACE=∠B，∴△BPD≌△ACF．

（3）作DG⊥BC，垂足為G，由（2）得：∠CAP=∠GPD．∵∠ACP=∠PGD=90°，∴△ACP∽△PGD．分三種情況討論：

①若DP=DB，則∠GPD=∠B ∴tan∠GPD=tan∠B=，∴ ，∴；

②若PD=PB，則∠PDB=∠B．∵△ACP∽△PGD，∴∠APC=∠PDG．∵∠PDC＞∠B，∴∠PDG＞∠B=∠PDB，則點G在PB的延長線上，矛盾，故PD=PB不成立；

③若PB=DB，則BD=20－t．∵DG∥AC，∴DG：DB=AC：AB，GB：DB=CB：AB，∴DG：(20-t)=15：25，GB：(20-t)=20：25，解得：DG=，GB=，∴PG=PB－GB=(20-t)- =．∵△ACP∽△PGD，∴AC：CP=PG：DG，∴15：t=：，解得：t=45＞20，故PB=DB不成立．

綜上所述：t=．

（4）方法一：當AP平分∠CAB時，D′B最長，點CB上運動時，D在D′B之間往返運動．故點D運動路徑的長=2BD′．

∵AP平分∠CAB，∴AC：CP=AB：PB，∴15：CP=25：(20-CP)，解得：CP=7.5．∵DG∥AC，∴，設DG=3x，則BG=4x，BD=5x．∵△D′PG∽△PAG，∴D′G：PG=CP：AC=1：2，∴PG=6x，∴6x+4x=PB=20－7.5，解得：x=1.25．∴2 BD′=2×1.25×5=12.5．

方法二：P點是在CB上運動的，而∠APD是直角，∴P可以看作是斜邊AB上以AD為直徑的圓O與線段CB的交點，當CB與⊙O相切的時候，此時的D是運動到最遠的時候．設半徑為OA=OP=r，則OB=25－r．∵OP∥AC，∴OP：AC=OB：AB，∴，r=，∴BD=25－=，∴運動路程為2BD==12.5．