Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，B點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3）

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P在拋物線位于第四象限的部分上運動，當△BCP的面積最大時，求點P的坐標和△BCP的最大面積．

（3）當△BCP的面積最大時，在拋物線上是否點Q（異于點P），使△BCQ的面積等于△BCP，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）P點坐標為（，﹣）時，△BCP的面積最大，最大面積為；（3）存在，Q點坐標為

【解析】試題分析：（1）直接用代入法求函數的解析式；（2）連接BC，過點P作y軸的平行線，交BC于點M，交x軸于點H，求直線BC的函數解析式，設P點坐標為（x，x2﹣2x﹣3），則M點坐標為（x，x﹣3），則PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，由S△PBC=PM OH+PM HB=PM（OH+HB）=PM OB=PM，當PM有最大值時，△PBC的面積最大，由PM=﹣x2+3x＝－（x﹣）2+可得，當x=時，有最大值PM=，則S△PBC=×=,把x=代入 x2﹣2x﹣3＝﹣，則點P的坐標為（，﹣）；（3）求出直線Q1Q2的解析式，再求它與二次函數交點坐標即為所求；

試題解析：

(1）把B、C兩點坐標代入拋物線解析式可得，解得，

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3；

(2) 連接BC，過點P作y軸的平行線，交BC于點M，交x軸于點H，如圖所示：

在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，則點B的坐標為（3，0），令x=0,y=-3,則點C的坐標為（0，－3），

∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直線BC解析式為y=x﹣3，
設P點坐標為（x，x2﹣2x﹣3），則M點坐標為（x，x﹣3），
∵P點在第四限，
∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，
∴S△PBC=PM OH+PM HB=PM（OH+HB）=PM OB=PM，
∴當PM有最大值時，△PBC的面積最大，
∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，
∴當x=時，有最大值PM=，則S△PBC=×=，
此時P點坐標為（，﹣）， S△PBC=，
即當P點坐標為（，﹣）時，△BCP的面積最大，最大面積為；

(3)∵△BCP的面積面積為

∴△BCP的高是 ，

作直線BC的平行的直線Q1Q2，且距離直線BC為，

∵直線BC的函數為y=x-3，

∴直線Q1Q2的解析式為y=x- ,

又∵二次函數的解析線為y=x2﹣2x﹣3，

∴兩條直線交點Q2坐標為，Q1的坐標為。

∴存在，Q點坐標為。