Question

【題目】定義：P、Q分別是兩條線段a，b上任意一點，線段PQ長度的最小值叫做線段a與線段b的距離．已知，O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐標系中四點．
（1）根據上述定義，當m=2，n=2時，如圖1，線段BC與線段OA的距離為；當m=5，n=2時，如圖2，線段BC與線段OA的距離（即線段AB的長）為；


（2）如圖3，若點B落在圓心為A，半徑為2的圓上，線段BC與線段OA的距離記為d，求d關于m的函數解析式．

（3）當m值變化時，動線段BC與線段OA的距離始終為2，線段BC的中點為M，點D（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x軸，垂足為H，是否存在m值，使以A、M、H為頂點的三角形與△AOD相似？若存在，求出m值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）2,
（2）解：如答圖2所示，當點B落在⊙A上時，m的取值范圍為2≤m≤6：

當4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑，即d=2；

當2≤m＜4時，作BN⊥x軸于點N，線段BC與線段OA的距離等于BN長，

ON=m，AN=OA﹣ON=4﹣m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：

∴d= = =

（3）解：存在．

∵m≥0，n≥0，∴點M位于第一象限．

∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．

如答圖4所示，相似三角形有三種情形：

（I）△AM1H1，此時點M縱坐標為2，點H在A點左側．

如圖，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA﹣OH1=2﹣m，

由相似關系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2﹣m），

∴m=1；

（II）△AM2H2，此時點M縱坐標為2，點H在A點右側．

如圖，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2﹣OA=m﹣2，

由相似關系可知，M2H2=2AH2，即2=2（m﹣2），

∴m=3；

（III）△AM3H3，此時點B落在⊙A上．

如圖，OH3=m+2，AH3=OH3﹣OA=m﹣2，

過點B作BN⊥x軸于點N，則BN=M3H3=n，AN=m﹣4，

由相似關系可知，AH3=2M3H3，即m﹣2=2n （1）

在Rt△ABN中，由勾股定理得：22=（m﹣4）2+n2 （2）

由（1）、（2）式解得：m1= ，m2=2，

當m=2時，點M與點A橫坐標相同，點H與點A重合，故舍去，

∴m= ．

綜上所述，存在m的值使以A、M、H為頂點的三角形與△AOD相似，m的取值為：1或3或 ．

【解析】解：（1）當m=2，n=2時，

如題圖1，線段BC與線段OA的距離（即線段BN的長）=2；

當m=5，n=2時，

B點坐標為（5，2），線段BC與線段OA的距離，即為線段AB的長，

如答圖1，過點B作BN⊥x軸于點N，則AN=1，BN=2，

在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB= = = ；

所以答案是：2， ；

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對點和圓的三種位置關系的理解，了解圓和點的位置關系：以點P與圓O的為例（設P是一點，則PO是點到圓心的距離），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O內，PO＜r．