Question

（2013•杭州一模）點A，B的坐標分別為（-2，3）和（1，3），拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）的頂點在線段AB上運動時，形狀保持不變，且與x軸交于C，D兩點（C在D的左側），給出下列結論：①c＜3；②當x＜-3時，y隨x的增大而增大；③若點D的橫坐標最大值為5，則點C的橫坐標最小值為-5；④當四邊形ACDB為平行四邊形時，a=-

4

3

．其中正確的是（　　）

A．②④

B．②③

C．①③④

D．①②④

Answer 1

分析：根據頂點在線段AB上拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）可以判斷出c的取值范圍，得到①錯誤；根據二次函數的增減性判斷出②正確；先確定x=1時，點D的橫坐標取得最大值，然后根據二次函數的對稱性求出此時點C的橫坐標，即可判斷③錯誤；令y=0，利用根與系數的關系與頂點的縱坐標求出CD的長度的表達式，然后根據平行四邊形的對邊平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判斷出④正確．

解答：解：∵點A，B的坐標分別為（-2，3）和（1，3），
∴線段AB與y軸的交點坐標為（0，3），
又∵拋物線的頂點在線段AB上運動，拋物線與y軸的交點坐標為（0，c），
∴c≤3，（頂點在y軸上時取“=”），故①錯誤；
∵拋物線的頂點在線段AB上運動，
∴當x＜-2時，y隨x的增大而增大，
因此，當x＜-3時，y隨x的增大而增大，故②正確；
若點D的橫坐標最大值為5，則此時對稱軸為直線x=1，
根據二次函數的對稱性，點C的橫坐標最小值為-2-4=-6，故③錯誤；
根據頂點坐標公式，

4ac-b2

4a

=3，
令y=0，則ax²+bx+c=0，
CD²=（-

b

a

）²-4×

c

a

=

b2-4ac

a2

，
根據頂點坐標公式，

4ac-b2

4a

=3，
∴

b2-4ac

a

=-12，
∴CD²=

1

a

×（-12）=

12

-a

，
∵四邊形ACDB為平行四邊形，
∴CD=AB=1-（-2）=3，
∴

12

-a

=3²=9，
解得a=-

4

3

，故④正確；
綜上所述，正確的結論有②④．
故選A．

點評：本題考查了二次函數的綜合題型，主要利用了二次函數的頂點坐標，二次函數的對稱性，根與系數的關系，平行四邊形的對邊平行且相等的性質，①要注意頂點在y軸上的情況．