Question

【題目】有兩張完全重合的矩形紙片，將其中一張繞點順時針旋轉后得到矩形（如圖1），連接，，若，．

（1）試探究線段與線段的數量關系和位置關系，并說明理由；

（2）把與剪去，將繞點順時針旋轉得，邊交于點（如圖2），設旋轉角為，當為等腰三角形時，求的度數；

（3）若將沿方向平移得到（如圖3），與交于點，與交于點，當時，求平移的距離．

Answer 1

【答案】（1），，理由見解析；（2）或；（3）平移的距離是

【解析】

（1）有兩張完全重合的矩形紙片，將其中一張繞點A順時針旋轉90°后得到矩形AMEF（如圖1），得BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，進而可得∠DNM的大小．
（2）分兩種情形討論①當AK=FK時，②當AF=FK時，根據旋轉的性質得出結論．
（3）求平移的距離是A2A的長度．在矩形PNA2A中，A2A=PN，只要求出PN的長度就行．用△DPN∽△DAB得出對應線段成比例，即可得到A2A的大小．

（1）解：，．

延長交于點，

根據旋轉的性質得：AB=AM，AD=AF，∠BAD=∠MAF=90°

∴．

∴，．

又∵，

∴，

∴，

∴

（2）解：如圖2，

①當時，，

則，即；

②當時，，

∴，即；

∴的度數為或

（3）如圖3，

由題意得矩形．設，則，

在中，∵，

∴，，

∴．

∵，，

∴．

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴，

解得．即．

答：平移的距離是．