Question

【題目】如圖，在中，，M是AB中點，，

（1）在AE、EF、FB中是否總有最大的線段？若有，是哪一條？

（2）AE、EF、FB能否構成直角三角形？若能，請加以證明．

Answer 1

【答案】（1）在AE、EF、FB中總有最大的線段，最大的線段是EF；（2）AE、EF、FB能構成直角三角形.

【解析】

（1）過點A作AN∥BC，交FM延長線于點N，連接EN、EF，通過證明△AMN≌△BMF得到NA=FB，NM=FM，結合可得EN=EF，在Rt△AEN中即可說明最大的線段是EF；

（2）由（1）可得△AEN為直角三角形且NA=FB，EN=EF，問題得解.

解：（1）在AE、EF、FB中總有最大的線段，最大的線段是EF；

理由：過點A作AN∥BC，交FM延長線于點N，連接EN、EF，

∵AN∥BC，

∴∠NAE=∠ACB=90°，∠NAM=∠B，

在△AMN和△BMF中，，

∴△AMN≌△BMF（ASA），

∴NA=FB，NM=FM，

∵，

∴EN=EF，

∴在Rt△AEN中，斜邊EN最長，即在AE、EF、FB中，總有最大的線段EF；

（2）AE、EF、FB能構成直角三角形；

證明：由（1）可知△AEN為直角三角形且NA=FB，EN=EF，

∴AE、EF、FB能構成直角三角形.