Question

某公司年初推出一種高新技術產品，該產品銷售的累積利潤y（萬元）與銷售時間x（月）之間的解析式（即前x個月的利潤總和y與x之間的關系）為y=

1

2

x²-2x（x≥0）．
（1）求圖象與x軸的交點坐標O（

0

，0）；A（

4

，0）
（2）請在坐標系中畫出這個函數的簡圖；（友情提醒：注意取值范圍x≥0所對應的圖象）
（3）根據函數圖象，你能否判斷出公司銷售這種新產品是從第幾個月后開始盈利的？
（4）這個公司第6個月所獲的利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）求出圖象與x軸交點坐標即可得出答案；
（2）實際問題與二次函數，畫函數圖象時，要抓住幾個關鍵點，開口方向，頂點及對稱軸，與x軸的交點等等；實際問題中的拋物線圖形一般不是完整的圖形，受自變量取值范圍的限制；
（3）利用圖象得出y大于0時，即為開始盈利；
（4）利用x=6代入解析式求出即可．

解答：解：（1）y=

1

2

x²-2x的圖象與x軸相交，則y=0，
故0=

1

2

x²-2x
x（

1

2

x-2）=0，
解得：x₁=0，x₂=4，
故圖象與x軸的交點坐標為：O（0，0），A（4，0）；
故答案為：0.4；


（2）由y=

1

2

（x²-4x）=

1

2

（x-2）²-2．
∴函數圖象的頂點坐標為（2，-2），對稱軸為直線x=2．
如圖所示：

（3）從函數圖象可以看出，從4月份開始新產品的銷售累積利潤盈利．

（4）x=5時，y=

1

2

×5²-2×5=2.5；
x=6時，y=

1

2

×6²-2×6=6，6-2.5=3.5．
∴這個公司第6個月所獲的利潤是3.5萬元．

點評：此題主要考查了一元二次方程的應用以及二次函數的應用一個準確的函數圖象，可以為回答問題提供答案，（3）實際上就是什么時候y＞0，即盈利．