Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，現將一張等腰直角三角形紙片ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，點B的坐標為（-3，1），且拋物線y=ax²+ax-4a經過點B．
（Ⅰ）求拋物線的解析式；
（Ⅱ）求點A和點C的坐標；
（Ⅲ）以AC所在直線為對稱軸，將△ABC折疊，問點B的對稱點B₁是否落在拋物線上？再以AC的中點為對稱中心，將△ABC作中心對稱變換，這時點B的對稱點B₂是否落在拋物線上？若在，求出它們的坐標；若不在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據圖象經過B點直接代入解析式求出a即可；
（Ⅱ）首先過點B作BD⊥x軸，證明△BCD≌△CAO，進而得出A，C點的坐標；
（Ⅲ）首先證明△MB₁C≌△DBC，同理可證△AB₂N≌△CAO，即可得出點B₁（1，-1）與點B₂（2，1），進而得出答案．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線y=ax²+ax-4a經過點B，
∴1=9a-3a-4a，
解得：a=

1

2

；
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²+

1

2

x-2；

（Ⅱ）過點B作BD⊥x軸，垂足為D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，
∵點B坐標是（-3，1），
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴點A的坐標S是（0，2），點C的坐標是（-1，0）；

（Ⅲ）B₁和B₂都在拋物線上，
延長BC至點B₁，使得B₁C=BC，得到點B的對稱點B₁，
過點B₁作B₁M⊥x軸，
∵CB₁=CB，∠MCB₁=∠BCD，∠B₁MC=BDC=90°，
∴△MB₁C≌△DBC，
∴CM=CD=2，B₁M=BD=1，
可求得點B₁（1，-1），
過點A作AB₂∥CB，且AB₂=CB，得到點B的對稱點B₂，
過點B₂作B₂N⊥y軸，
同理可證△AB₂N≌△CAO，
∴NB₂=OA=2，AN=OC=1，
可求得點B₂（2，1），
經檢驗，點B₁（1，-1）與點B₂（2，1）都在拋物線y=

1

2

x²+

1

2

x-2上．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及全等三角形的判定，熟練利用全等三角形的判定以及性質得出有關點的坐標是解題關鍵．